Economia, prof. Fineschi 17 Dicembre 2013

Esercizio n.1

Ci viene chiesto di provare o confutare la seguente proposizione: "f(x) è derivabile in x_0 se e solo se esiste la retta tangente a f(x) in x_0".

Essendo un "se e solo se" dovremmo dimostrare, se volessimo dimostrarlo, che
a) "se f(x) è derivabile in x_0 allora esiste la retta tangente in x_0"
b) "se esiste la retta tangente in x_0 allora è derivabile in x_0".

Non vale la pena faticare per dimostrare la prima in quanto con un po' di occhio si vede che la seconda non vale. E per confutare basta un contro esempio: si consideri la funzione f(x)=radice quadrata(x) (come vi sarete accorti scrivere di matematica in questo ambiente è poco comodo, ragione per la quale potrebbe essere il primo e ultimo post che pubblico). Tale funzione ammette l'asse y come tangente in x=0 ma è chiaramente non derivabile in tale punto.

Esercizio n.2

Per calcolare la derivata in questione, dobbiamo usare la regola della derivata del prodotto di più funzioni: sia k(x)=f(x)g(x)h(x).

k'(x)=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)

Risparmiatemi il tedio di scrivere con questo programma quanto viene.
Ci viene chiesto di calcolarla in x=1. E' facile vedere che, per come stanno le cose, almeno una tra (x^2-1) e ln(x) si annulla sempre. Quindi la derivata in x=1 vale 0. Se vi viene diverso ci sta che avete sbagliato qualche conto...

Esercizio n.3

Calcoliamo il differenziale secondo di f(x)=ln(x^2).

Applichiamo la formula al nostro caso si ha:

f'(x)=2/x,           f''(x)=-2/x^2

Quindi 

d^2f(x_0)= -2/(x_0)^2(dx)^2

Esercizio n.4

Il dominio è x>0
sempre positiva
Asintoto verticale x=0
no asintoto orizzontale
no asintoto obliquo
min in (1,radiquadrata(2))

Esercizio n.5

Per trovare lo sviluppo di MacLaurin di f(x)=xe^x al terzo ordine, ci ricordiamo che

e^x si sviluppa come 1+x+x^2/2 (ci basta fino al secondo grado tanto poi viene moltiplicata per x)

Quindi lo sviluppo cercato è

P_3(x)=x(1+x+x^2/2)=x+x^2+x^3/2

PS mi scuso per la poca chiarezza della notazione, ma non è facile scrivere matematica con un programma persino peggio di Word (e già con Word ho grossi problemi).
Spero in ogni caso di essere stato in qualche modo di aiuto.
Per suggerimenti, correzioni (perché sicuramente qualche caz...ta  ci sta che mi scappi per fare veloce), potete scrivermi sul blog (prima o poi capirò anche dove arrivano i commenti) oppure alla mail marjnj@libero.it
Se avete dei testi di compiti di matematica delle facoltà di economia (non del Lonzi che pubblica le correzioni più velocemente di me), CTF, o simili... e volete vedere le correzioni, provate a inviare il testo della prova alla mail sopra indicata. Compatibilmente con gli impegni proverò a pubblicare in breve tempo la soluzione del compito... sempre che non sia troppo difficile.